¿Cómo midió Eratóstenes la circunferencia de la Tierra?
La respuesta corta
Hacia el año 240 antes de Cristo, Eratóstenes vio que al mediodía del solsticio el Sol no daba sombra en Siena, pero en Alejandría formaba un ángulo de 7,2°, 1/50 de círculo; como las separaban 5.000 estadios, la vuelta a la Tierra medía 50 veces eso: 250.000 estadios.
Discutido: El método es correcto; que acertara con un 2 % de error depende del largo del estadio, que no se sabe con certeza.
Dos sombras y una distancia
Eratóstenes de Cirene dirigía la biblioteca de Alejandría hacia el año 240 antes de Cristo. Había oído que en Siena, la actual Asuán, al sur de Egipto, al mediodía del solsticio de verano el Sol iluminaba el fondo de un pozo: estaba justo encima, y las varas verticales no daban sombra.[1] El mismo día y a la misma hora, en Alejandría, una vara vertical sí daba sombra. El ángulo entre la vara y los rayos del Sol era de 7,2°, la cincuentava parte de un círculo.[1] [2]
El razonamiento es geometría de secundaria. Si el Sol está tan lejos que sus rayos llegan paralelos, el ángulo de la sombra en Alejandría es igual al ángulo que forman, en el centro de la Tierra, las líneas que van a las dos ciudades. Entonces el trecho de Siena a Alejandría es 1/50 de la vuelta completa. Siena estaba a unos 5.000 estadios de Alejandría, así que la circunferencia de la Tierra era 50 × 5.000 = 250.000 estadios.[2]
Los rayos del Sol llegan paralelos. En Siena caen verticales; en Alejandría forman un ángulo con la vara. Ese mismo ángulo se abre en el centro de la Tierra entre las dos ciudades. El ángulo está exagerado para que se vea: el real es de 7,2°.
Repite la cuenta
La fórmula es una sola: circunferencia = distancia × 360 / ángulo. Los valores de ejemplo son los de Eratóstenes, con un estadio de 157,5 m. Cambia el largo del estadio a 185 m y mira qué pasa con el error. Para hacer tu propia medición con otra ciudad, pon la distancia norte-sur en kilómetros y 1.000 en “metros por unidad”.
| Resultado | |
|---|---|
| Fracción de círculo | veces |
| Circunferencia | unid. |
| Circunferencia en km | km |
| Diferencia con la real (40.008 km por los polos) | % |
Un error negativo significa que la estimación se queda corta. Fuente: Método: Cleomedes, según Heath (1921). Circunferencia polar calculada con los radios de NASA, Earth Fact Sheet.
Cómo lo sabemos
El libro de Eratóstenes, Sobre la medición de la Tierra, lo conocemos por menciones de otros autores antiguos. La cuenta con sus números llega por Cleomedes, un divulgador que escribió entre el siglo I antes de Cristo y el siglo II después de Cristo.[2] Según ese relato, el ángulo se midió con la sombra de un gnomon (una vara vertical) en Alejandría, y el pozo de Siena confirmaba que allí el Sol estaba en el cenit.[2] La distancia de 5.000 estadios se tomó como dato medido; la Sociedad Americana de Física cuenta que Eratóstenes pagó a bematistas, agrimensores entrenados para caminar con pasos iguales.[1]
El método descansa en tres supuestos que no son del todo exactos: que el Sol está tan lejos que sus rayos son paralelos, que Alejandría está justo al norte de Siena y que Siena está exactamente sobre el trópico de Cáncer.[1] Ninguno arruina la medición, pero cada uno suma error. Otros autores antiguos, Estrabón y Teón de Esmirna, dan 252.000 estadios en lugar de 250.000. No se sabe por qué; tal vez Eratóstenes redondeó para obtener un número divisible por 60, que da 700 estadios por grado.[2]
Lo que se suele decir mal: el “2 % de error”
Se repite que Eratóstenes acertó la circunferencia de la Tierra con un error de apenas 1 % o 2 %. El problema es que no sabemos cuánto medía su estadio. La Sociedad Americana de Física da un rango de 500 a 600 pies (unos 152 a 183 m), que deja la circunferencia entre 24.000 y 29.000 millas, frente a las 24.900 reales.[1]
| Supuesto | Circunferencia | Error |
|---|---|---|
| 250.000 estadios de 157,5 m | 39.375 km | −1,6 % |
| 252.000 estadios de 157,5 m | 39.690 km | −0,8 % |
| 250.000 estadios de 185 m | 46.250 km | +15,6 % |
| 252.000 estadios de 185 m | 46.620 km | +16,5 % |
Fuente: Cuentas propias. Estadio de 157,5 m: Heath (1921), a partir de Plinio. Estadio de 185 m: Shcheglov (2018). Circunferencia real por los polos: 40.008 km (NASA).
El estadio de 157,5 m sale de una cadena de conversiones: Plinio dice que Eratóstenes contaba 40 estadios por schoenus egipcio, y si ese schoenus valía 12.000 codos reales de 0,525 m, el estadio mide 157,5 m.[2] Con ese valor la medición queda casi perfecta, “por mucho que deba a accidentes afortunados en el cálculo”, escribió el historiador Thomas Heath.[2] En 2018, Dmitry Shcheglov publicó un argumento en contra de ese estadio corto: la mayoría de las fuentes antiguas dan un estadio común de 185 m.[3] Con 185 m, el error sube a más del 15 %.
Lo que no está en discusión es el método. Con dos sombras y una distancia, Eratóstenes obtuvo el tamaño de la Tierra con un error que va de menos del 1 % a cerca del 17 %, según el estadio que se elija: una hazaña en cualquiera de los dos casos.
Otras preguntas
¿Quién fue el primero en medir la Tierra?
La primera medición de la que se conocen el método y los números es la de Eratóstenes, bibliotecario de Alejandría, hacia el 240 antes de Cristo. Antes hubo al menos una estimación de 300.000 estadios, que menciona Arquímedes.
¿Qué instrumento usó Eratóstenes?
Un gnomon: una vara vertical clavada en el suelo, cuya sombra se mide al mediodía. En Siena, además, se contaba que el Sol iluminaba entero el fondo de un pozo ese día, señal de que estaba justo encima.
¿Cuánto mide la circunferencia real de la Tierra?
Unos 40.075 km por el ecuador y unos 40.008 km dando la vuelta por los polos, según los radios que publica la NASA. La Tierra está un poco achatada.
¿Se puede repetir el experimento de Eratóstenes hoy?
Sí. Hacen falta dos lugares separados de norte a sur y medir el mismo día, al mediodía solar, el ángulo de la sombra de una vara vertical. Por cada 111 km de separación norte-sur, el ángulo cambia cerca de 1 grado.
Fuentes
- American Physical Society. This Month in Physics History: June, ca. 240 B.C. Eratosthenes Measures the Earth . APS News, 15(6) (2006). primaria 7,2° (1/50 de círculo), 5.000 estadios, 250.000 estadios; supuestos del método; estadio de 500 a 600 pies.
- Heath TL. A History of Greek Mathematics, vol. II: From Aristarchus to Diophantus . Oxford, Clarendon Press, pp. 106-108 (1921). El relato de Cleomedes (De motu circulari I.10): el pozo de Siena, el gnomon de Alejandría, 250.000 estadios frente a los 252.000 de Estrabón y Teón; el estadio de 157,5 m.
- Shcheglov DA. The so-called 'Itinerary Stade' and the Accuracy of Eratosthenes' Measurement of the Earth . Klio, 100(1): 153-177 (2018). primaria Argumenta contra el estadio 'corto': la mayoría de las fuentes antiguas dan 185 m. Se leyó el resumen; el texto completo es de pago.
- Williams DR (NASA Goddard). Earth Fact Sheet . NASA, NSSDCA. primaria Radios ecuatorial (6.378,137 km) y polar (6.356,752 km): de ahí sale la circunferencia por los polos, 40.008 km.
Publicado el 26 de septiembre de 2026. Revisado contra las fuentes el . ¿Ves un error? Avísanos.
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